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위대한 수학의 미스테리 1편


인간은 오래전부터 자연을 관찰해왔고, 여러가지 패턴들을 찾아내었다.


밤하늘에 떠있는 별들을 바라보며 별자리를 찾아내었고,


밤과 낮, 그리고 계절이 바뀌는것을 보면서


이러한 패턴을 “시간” 이라고 불렀다.


사람의 몸, 호랑이의 줄무늬와 같은 자연의 대칭적인 패턴들을 보고 익히면서


인간은 이것들을 예술로만들고 더 나아가서는 도시를 건설하는데 이용하게 된다.


이러한 패턴이 우리에게 의미하는것은 무엇일까.
왜 고동의 껍질과, 단면을 잘라낸 양배추에서 보이는 나선형의 모양이


머나먼 우주의 은하에서도 보이는것일까? 이것은 그저 우연에 불과한것일까?


과학자들은 이 세상의 패턴들을 연구하고 이해하려할때 그들은 강력한 도구인 “수학” 을 이용한다.

관찰한것을 숫자화하고 그 숫자를 자연의 리듬과 규칙의 원인을 찾기 위해
수학적 테크닉을 이용하여 탐구한다.


이러한 노력은 행성의 공전궤도에 관한 비밀과 우리들의 휴대전화를 연결하는 전자파.


심지어 물질의 가장 기본적인 구성요소를 발견하게 해주었다.


그러나 이러한 발견은 보다 근본적인 질문을 던지게 한다.

왜 수학이 이토록 잘 맞아떨어지는 것일까?
우리가 살고있는 세상이 수학을 바탕으로 이루어져 있기 때문인것일까?


아니면 수학은 단지 인간의 뇌가 발명한 결과물인 것인가?


레오나르도 피보나치는 12~13세기에 활동했던 이탈리아의 수학자로 우리에게는 피보나치 수열로 유명한 사람이다.


피보나치 수열을 생성하는 기본 규칙은 처음 두 항은 1이고(그림에서는 0부터 시작함), 세 번째 항부터는 바로 앞의 두 합의 합이 된다는 것이다.

그래서 세 번째 항은 첫 번째 항 1과 두 번째 항 1을 더한 값인 2가 된다. 그리고 네 번째 항은 두 번째 항 1과 세 번째 한 2를 더한 값인 3이 된다.


피보나치 수열은 우리 일상생활에서 많이 볼수 있는데 데이지 꽃의 꽃잎이 피보나치 숫자의 형태로 나타난다.


솔방울의 밑바닥을 보면 나선형의 선이 시계 방향으로 피보나치 수 13 만큼, 시계 반대 방향으로 13 바로 이전의 피보나치 수 8 만큼 그려지는것을 확인할수 있고,


마찬가지로 해바라기에서도 나선형의 선이 시계 반대 방향으로 피보나치 수 34만큼, 시계 방향으로 34 이전의 피보나치 수 21만큼 그려진다.


피보나치 수와 같이 물리 세계와 수학과의 미스테리한 연결은 더 깊어지는데 우리가 잘 알고있는 3.141592….. 즉, 파이 에서도 나타난다.


종이에 일정한 간격의 선이 그려져 있고, 선과 선 사이의 간격과 길이가 같은 바늘이 있다.

이 바늘을 종이 위로 던졌을때 나올수 있는 경우의 수는 바늘이 선 위로 떨어져서 선을 2등분 하는 경우, 그리고 선과 선 사이에 떨어지는 경우 두가지가 있는데,


바늘을 무한히 많이 던졌을때 바늘이 선 위로 떨어질 확률은 63.6…%, 즉 2/파이 이다.


수원(물의 공급원) 에서 하구까지 자연적으로 꼬불꼬불 나 있는 강의 길이를 직선의 길이로 나누었을때도 파이가 나타난다.


또한 파이는 소리와 빛과 같은 파동과 관련된 모든것들에 관련이 되어 있는데


파이는 무지개가 어떤 색으로 떠있어야 하는지, 피아노의 middle c 소리가 어떻게 나야 하는지 말해줄수 있다.


초신성의 밝기를 측정할때도 파이가 나타나는데 이처럼 숫자 파이는 우리 세계에 깊이 숨겨진 막대한 수학적 연결망중 하나의 예 라고 할수있다.


MIT 출신 물리학자 MAX TEGMARK는 현실세계의 이러한 수학과 물리세계와의 깊은 연관성이 마치 컴퓨터 게임과 비슷하다고 말한다.


우리가 컴퓨터 게임 속 주인공이 되었다고 가정해 보자.


우리가 탐험하는 게임 속 세상은 물리적 물질로 만들어진 단단한 물체 로 이루어진것처럼 느낄것이고 물체가 떨어지고 튕기고 부서지는 모든 물리적 현상이 당연하게 느껴질 것이다.


이러한 물리적 현상을 호기심을 가지고 연구하다 보면 결국 게임속 우리가 사는 세상을 묘사하고 있는것은 프로그래머가 심어 놓은 수학적 규칙 이라는것을 알게 될것이다.

결국 게임속 우리가 사는 세상은 단지 숫자와 방정식 으로 이루어져 있는것이다.


이렇게 MAX는 게임속 소프트웨어 세상이 우리가 실제 살고있는 세상과 크게 다르지 않다고 주장한다.

그에게는 수학이 현실 세계을 설명하는데 있어서 이렇게 잘 들어맞는 이유는 세상 그 자체가 “수학” 이기 때문인 것이다.


우주는 그 크기와 복잡성이 너무 막대해서 우주를 묘사하기 위해서는 엄청나게 큰 숫자가 필요하지만 그것의 수학적 기본 구조는 놀랍도록 단순한데


그 수학적 구조는 바로 소립자의 질량을 나타내는 숫자와 같은 32개의 “상수” 이다.


이 상수들은 물리적 기본 법칙의 유용한 수학적 방정식과 함께 존재하고 이것은 우리가 살고있는 세상을 잘 설명해준다.


MAX는 우리가 아직 발견하지 못한 물리적 현상이 있어도 그것은 분명 수학적으로 설명이 가능할 것이라고 자신한다.

이 모든 세상이 수학적으로 이루어져 있기 때문 이라는 것이다.


고대 그리스의 철학자이자 수학자인 피타고라스도 비슷한 생각을 하였는데,


수학과 음악의 연관성을 연구하다가 Octave, Fifth, Fourth 와 같이 우리 귀에 듣기 좋은 음의 비율의 진동하는 줄의 길이가 각각 2:1, 3:2, 4:3 일때 나타난다는 것을 발견하게 된다.


사실 많은 물리적 현상들이 이러한 간단한 비율로 이루어져 있는데 물을 구성하고 있는 산소와 수소 원자의 비율이 1:2 이다.


달의 공전주기 = 27.321661 일, 달의 자전주기 = 27.321661 달의 공전주기와 자전주기는 정확히 1:1 비율을 이룬다.


수성의 공전주기 = 87.969, 수성의 자전주기 = 58.6462 수성의 자전주기와 공전주기와의 비율은 정확이 2:3 이다.

수학의 신비함은 여기서 끝이 아니다.


위 그림은 리만이 발견한 “제타 함수” 라는 수식이고 이 수식은 모두 소수로 되어있는데 리만가설이란 “제타 함수의 비자명적인 제로점은 모두 일직선상에 있다.” 라는 것이다.


여기서 제로점이란 제타함수를 그래프로 나타냈을 때 그래프의 높이가 제로가 되는 점이다.


소수의 배열이 불규칙-적이므로, 소수로 만든 제타 함수의 제로점도 위 사진과 같이 불규칙할것이라고 생각되었는데,


실제로 제로점은 일직선 상에 나타났다.


아직 발견되지 않은 다른 제로점도 전부 같은 직선 상에 있는가? 이것이 리만 가설의 핵심이다. 


이것이 바로 리만 가설의 제로점 간격의 수식인데,


이 수식은 우라늄 등 원자학의 에너지(좌측) 레벨의 간격을 나타내는 식과 신기할 정도로 일치한다. 

소수의 불규칙적인 배열에 대해 연구를 했는데 그 수학적 연구에서 갑자기 원자학, 물리학의 식이 도출된것이다.


이렇게 많은 물리적 현상이 수학과 연관성이 있기 때문에 수학자들은 자신들의 일이 이미 존재하는 현상을 찾아내고자 하는것과 같아서 수학적 연관성을 발명 이 아닌 발견 하는것과 같다고 말한다.


정말 이 거대한 대 자연이 모두 수학을 바탕으로 이루어져 있는 것일까? 그게 아니라면 수학은 우리가 발명해 낸 결과물인 것인가?








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